Loi de Snell Descartes : formule, calculs et exercices corrigés
La loi de Snell Descartes s’écrit n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂ pour la réfraction.
- Les angles se mesurent par rapport à la normale, jamais à la surface.
- Le rayon incident, le rayon réfracté et la normale sont dans le même plan.
- Pour la réflexion, l’angle réfléchi égale l’angle d’incidence : i₁ = r.
- Une incidence nulle (i₁ = 0°) ne dévie pas le rayon.
- Chaque milieu possède un indice de réfraction noté n₁ ou n₂.
Lois de Snell-Descartes pour la réfraction
Énoncé des lois et formule fondamentale
Quand un rayon lumineux traverse la surface de séparation entre deux milieux transparents, il change de direction : c’est la réfraction. Cette surface s’appelle le dioptre, et la droite perpendiculaire à ce dioptre est la normale.
La loi de Snell-Descartes relie les angles mesurés par rapport à la normale et les indices des deux milieux. Sa formule fondamentale s’écrit : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂, où n₁ et n₂ sont les indices de réfraction des milieux, i₁ l’angle d’incidence et i₂ l’angle de réfraction.
Deux règles complètent cette relation. Le rayon incident, le rayon réfracté et la normale appartiennent au même plan, appelé plan d’incidence. Les angles se mesurent toujours par rapport à la normale, jamais par rapport à la surface.
Calculs d’angles par application numérique
- Air vers verre : un angle d’incidence de 35° donne 22,5°
- Eau vers air : un angle d’incidence de 30° donne 41,7°
- Incidence nulle : à i₁ = 0°, le rayon n’est pas dévié
- Plan d’incidence : le rayon réfracté y reste toujours contenu
Pour vérifier ces résultats, il suffit de poser l’application numérique. Avec l’air (n₁ = 1) et le verre (n₂ = 1,5), la loi devient sin i₂ = (1 × sin 35°) / 1,5, soit environ 0,382, ce qui donne i₂ ≈ 22,5°.
Lois de Snell-Descartes pour la réflexion
Quand un rayon lumineux atteint une surface réfléchissante, il repart de l’autre côté de la normale en suivant une règle très simple : l’angle réfléchi est égal à l’angle d’incidence. Autrement dit, un rayon qui arrive à 30° de la normale repart à 30° de cette même normale. On note cette égalité i₁ = r, où i₁ désigne l’angle d’incidence et r l’angle de réflexion.
Comme pour la réfraction, deux conditions accompagnent cette égalité. Le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale au point d’impact appartiennent tous au même plan, appelé plan d’incidence. Les angles se mesurent toujours par rapport à la normale, jamais par rapport à la surface elle-même, ce qui évite la plupart des erreurs de calcul.
Un cas particulier mérite d’être retenu : un rayon qui arrive perpendiculairement à la surface, donc avec un angle d’incidence de 0°, repart exactement sur lui-même. Cette loi de la réflexion s’applique aussi bien aux miroirs qu’aux surfaces de l’eau ou du verre, où une partie de la lumière est toujours renvoyée.
Indice de réfraction et vocabulaire de base
Avant de plonger dans les formules, un peu de vocabulaire s’impose. Les lois de Snell-Descartes s’appuient sur des termes précis que l’on retrouve dans tous les exercices. Maîtriser ces mots, c’est déjà comprendre la moitié du problème.
La normale est une droite imaginaire perpendiculaire à la surface qui sépare les deux milieux. Cette surface s’appelle le dioptre. Point essentiel : tous les angles se mesurent par rapport à la normale, jamais par rapport à la surface elle-même. Le rayon incident arrive sur le dioptre, le rayon réfracté le traverse en changeant de direction, et le rayon réfléchi repart du même côté que le rayon incident.
L’indice de réfraction, une histoire de vitesse
Chaque milieu transparent ralentit la lumière qui le traverse. Cet effet se mesure avec l’indice de réfraction, noté n, défini par la relation n = c / v, où c est la vitesse de la lumière dans le vide et v sa vitesse dans le milieu considéré. Plus l’indice est élevé, plus la lumière ralentit et plus le rayon est dévié en entrant dans le milieu.
| Milieu | Indice de réfraction | Vitesse de la lumière dans le milieu |
|---|---|---|
| Air | 1 | quasi identique à celle du vide |
| Eau | 1,33 | environ 225 000 km/s |
| Verre | 1,5 | environ 200 000 km/s |
Un milieu d’indice n₁ = 1 comme l’air est dit peu réfringent, tandis qu’un verre d’indice n₂ = 1,5 est plus réfringent. C’est cette différence d’indice qui explique la déviation d’un rayon passant de l’air au verre, ou de l’eau (n = 1,33) à l’air.
Dans les notations des formules, l’angle du rayon incident se note i₁ (mesuré dans le milieu 1) et l’angle du rayon réfracté i₂ (mesuré dans le milieu 2). En réflexion, on utilise souvent la lettre r pour l’angle réfléchi, égal à l’angle d’incidence. Retenez que ces lettres reviennent systématiquement dans les énoncés, d’où l’importance de bien les associer à leur milieu.
Exemples chiffrés et exercices corrigés
Place à la pratique. Voici des applications numériques directes de la formule n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂, avec les valeurs d’indices les plus courantes : 1 pour l’air, 1,33 pour l’eau et 1,5 pour le verre. Chaque étape du calcul est détaillée pour que tu puisses reproduire la méthode seul.
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Exercice 1 : passage de l’eau vers l’air
Un rayon lumineux se propage dans l’eau et arrive à la surface avec un angle d’incidence i₁ = 30°. On cherche l’angle de réfraction i₂ dans l’air.
Application de la formule : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂, soit 1,33 × sin 30° = 1 × sin i₂. Or sin 30° = 0,5, donc le calcul du sinus de l’angle réfracté donne 1,33 × 0,5 = 0,665.
Il reste à inverser le sinus : i₂ = arcsin(0,665), ce qui donne 41,7°. Le rayon s’écarte donc nettement de la normale en sortant de l’eau, puisque 41,7° est bien supérieur à 30°.
Exercice 2 : détermination de l’angle limite eau/air
On cherche maintenant l’angle limite de l’interface eau/air, c’est-à-dire l’incidence pour laquelle le rayon réfracté atteint 90° et rase la surface. On pose donc i₂ = 90° dans la formule.
On obtient sin i_lim = (n₂ / n₁) × sin 90° = (1 / 1,33) × 1, soit environ 0,382. L’inversion donne i_lim = arcsin(0,382) ≈ 22,5°.
Au-delà de cet angle, plus aucun rayon ne traverse l’interface : c’est le phénomène de réflexion totale, exploité notamment dans les fibres optiques.
- Eau vers air : i₁ = 30° donne i₂ ≈ 41,7°
- Calcul du sinus réfracté : 1,33 × 0,5 = 0,665
- Angle limite : interface eau/air proche de 90° pour i₂
- Inversion finale : arcsin(0,382) ≈ 22,5°
Angle limite et réflexion totale
Condition d’apparition et angle critique
Quand la lumière passe d’un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent, le rayon réfracté s’éloigne de la normale. Plus l’angle d’incidence augmente, plus le rayon réfracté se rapproche de la surface. Il existe donc un angle d’incidence particulier pour lequel l’angle de réfraction atteint exactement 90° : le rayon réfracté rase alors la surface. Cet angle s’appelle l’angle critique ou angle limite, noté ilim.
La condition d’apparition est simple : le milieu de départ doit avoir un indice n₁ supérieur à n₂. Au-delà de l’angle limite, plus aucun rayon ne traverse la surface : toute la lumière est renvoyée dans le premier milieu. C’est le phénomène de réflexion totale.
Les points clés à retenir :
- Milieu plus vers moins réfringent : condition indispensable pour observer le phénomène
- Angle réfracté atteint 90° : le rayon réfracté rase la surface, angle limite franchi
- Au-delà : réflexion totale : plus aucun rayon ne traverse, toute la lumière est renvoyée
- Interface verre air concernée : cas typique où n₁ supérieur à n₂
Cas concrets du verre vers l’air
Prenons l’interface entre le verre (n₁ = 1,5) et l’air (n₂ = 1). En appliquant la loi de Snell-Descartes à la limite, on cherche l’angle d’incidence pour lequel l’angle réfracté vaut 90°. La formule donne sin(ilim) = n₂ / n₁ = 1 / 1,5, soit environ 0,667. L’angle limite vaut donc arcsin(0,667) ≈ 41,7°.
Concrètement, tout rayon arrivant sur la surface verre-air avec un angle supérieur à 41,7° ne sortira pas du verre : il sera totalement réfléchi. C’est ce principe qui guide la lumière dans les fibres optiques et les prismes à réflexion totale utilisés dans les jumelles ou les appareils photo.
Historique des lois de Snell-Descartes
La découverte des lois de la réfraction est souvent attribuée à Ibn Sahl, un mathématicien qui vivait entre 940 et 1000. Dès 983, il décrit la relation entre les angles et les indices des milieux dans un manuscrit resté célèbre, et il l’applique notamment à la conception d’une lentille hyperbolique capable de focaliser la lumière sans aberration.
Ces travaux circulent ensuite dans le monde arabe et persan, puis parviennent aux savants européens plusieurs siècles plus tard. La loi porte pourtant le nom de Snell et de Descartes, qui l’ont reformulée indépendamment en Europe. Cette attribution tardive explique le titre d’un article de 2002 resté célèbre : « Who really discovered Snell’s law? ».
Plus récemment, des chercheurs de Harvard ont proposé en 2011 une généralisation de ces lois pour décrire la propagation de la lumière à la surface de matériaux particuliers, montrant que ce principe vieux de plus de mille ans reste un outil de recherche actuel.